高数试题考点简要分析

多元函数微分学

全微分 $dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$
- 例题：12-13-3 二(1)
- 填空题考法:给出全微分求参数
  - 例题：12-13-3 一(6)
复合函数求微分
隐函数求微分
- 例题：P31 例4.9(三种方法)
- 方程组确定隐函数: P33 例4.10
空间曲线的切线与法平面
- 切向量:$\alpha = \lbrace x’(t_0),y’(t_0),z’(t_0)\rbrace$
- 切线:$\frac{x-x_0}{x’(t_0)}=\frac{y-y_0}{y’(t_0)}=\frac{z-z_0}{z’(t_0)}$
- 法平面:$x’(t_0)(x-x_0)+y’(t_0)(y-y_0)+z’(t_0)(z-z_0)=0$
- 例题：P43 例6.3
空间曲面的切平面与法线
- 法向量:$n=\lbrace F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0) \rbrace$
- 切平面: $\textbf{n}\cdot(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0$
- 法线: $\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$
梯度$\textbf{grad}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)=\lbrace f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)\rbrace$
方向导数 $\frac{\partial z}{\partial l}|_{M_0}=f_x(x_0,y_0)cos\alpha + f_y(x_0,y_0)cos\beta = \nabla f(x_0,y_0)\cdot l_0$
- 例题：课本P39 例5.2

积分

第一型曲面积分(今年很有可能考，一代二换三投影)
二重三重积分(8分)
第二型曲线积分 (12分)
- 常规算法
- Green公式算法
第二型曲面积分(8分)
- 一代：将曲面$\sum$的方程代入被积函数
- 二投：将曲面$\sum$投影到坐标平面
- 三定号：由曲面侧确定正负号
- 四换域：改变积分域，曲面$\sum$变为投影域
- 例题
  - P140 例2.3
Green公式: $\oint_{\partial D^+} Pdx+Qdy = \iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$
高斯公式
- 格林公式：平面区域二重积分与区域边界第二型曲线
- 高斯公式：空间区域三重积分与边界曲面第二型曲面
- 注意点
  - 如果$\sum$不是闭曲面，则需要补充曲面使之封闭，最后不要忘了减去
  - 如果$P,Q,R$在某点没有定义，则可以将$\sum$方程带入被积函数消去影响
散度 (4分) $divF(M) = \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
Stokes公式 : 第二型曲线与第二型曲面变换
旋度 (和散度连起来4分) P169页

级数

常见级数
- 等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty}aq^n$又称为几何级数
  - $|q|<1$时收敛, $S=\frac{a}{1-q}$
  - $|q|\geq 1$时发散.
- $p$级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$
  - $p\leq 1$时发散
  - $p>1$时收敛
  - $p=1$时,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$称为调和级数
- 幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n=c_0+c_1z+\cdots+c_nz^n+\cdots$
  - 收敛性(必考) 三种情况见P230 （12分左右,含缺项幂级数）
    - 收敛半径$$
      R=\begin{cases}
      \frac{1}{\rho} & 0<\rho<\infty
      \newline
      \infty & \rho = 0
      \newline
      0 & \rho = \infty
      \end{cases}
      $$
    - 当幂级数为实幂级数时, __收敛圆__变为区间$(-R,R)$,称为 收敛区间.
  - 求和函数并求数项级数和(8分)
    - 建议p233-235熟练掌握
    - 注意求导完积分时,从0开始积，取值定C
  - 函数展开为幂级数(8-10分)
    - 牢记P239
    - 幂级数展开不允许有负次幂
- Laurent级数 (8分) P248 例3.2 P249 习题2
- Fourier级数 (4分)
- 缺项幂级数 : 只含奇次幂或偶次幂的幂级数，直接采用比值判别法
条件收敛、绝对收敛
- $\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$收敛则称级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$绝对收敛(按模)
- $\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$发散,而级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛,则称其条件收敛。
反常积分判敛法
- 可参考P214-P216的推论，虽然没考过但包老师毒奶有可能考，还是看一下吧
- 建议掌握$\Gamma$函数：
- $$\Gamma(x)=
  \begin{cases}
  \int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt & x>0,
  \newline
  \frac{\Gamma(x+1)}{x} & x<0,x\neq -1,-2,\cdots
  \end{cases}
  \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} , \quad
  \Gamma(1)=1
  $$
孤立奇点与留数
- 孤立奇点
  - 可去奇点：Laurent展开中无负幂次
  - m级极点：Laurent展开式中有有限项负幂次
    - $f(z)$在$z_0$处解析,那么$z_0$为$f(z)$的m级零点充要条件是：$f^{(n)}(z_0)=0 (n=0,1,2,\cdots,m-1),f^{(m)}(z_0)\neq 0$
    - $z_0$为$f(z)$的$m$级极点$\Leftrightarrow z_0$为$\frac{1}{f(z)}$的m级零点。
  - 本性奇点：有无穷多负幂项
  - 求$f(z)$奇点和类型方法：
  - 首先求出所有奇点
    接着求$\lim_{z\to z_0}f(z)$,若该值为复常数则为可去奇点
    若该值不存在且不为无穷，则为本性奇点
    若该值为无穷，则：
    对于每个奇点,验证$\frac{1}{f^{(m)}(z)}\neq 0$
    每一个奇点求出的m即为该奇点的m级极点。
    对于无穷型点性态，考虑$z=\frac{1}{t}$带入后同上。
- 留数
  - 如果$z_0$为$f(z)$的m级极点，那么$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}[(z-z_0)^mf(z)]^{(m-1)}$
  - 千万不要忘了定义法:将$f(z)$在$z_0$的去心邻域内的Laurent展开式的负一次幂系数$c_{-1}$
  - 若$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)},P(z),Q(z)均在z_0解析,且P(z_0)\neq 0,Q(z_0)=0,Q’(z_0)\neq 0$,则$Res[\frac{P(z)}{Q(z)},z_0]=\frac{P(z_0)}{Q’(z_0)}$
  - 留数定理：$\oint_L f(z)dz = 2\pi i \sum_{k=1}{n}Res[f(z),z_k]$